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A filosofia da matemática é o estudo filosófico dos conceitos e métodos da matemática. Preocupa-se com a natureza dos números, objectos geométricos, e outros conceitos matemáticos; preocupa-se com as suas origens cognitivas e com a sua aplicação à realidade. Aborda a validação dos métodos de inferência matemática. Em particular, trata dos problemas lógicos associados à infinitude matemática.
Entre as ciências, a matemática tem uma relação única com a filosofia. Desde a antiguidade, os filósofos têm invejado, como modelo de perfeição lógica, devido à clareza dos seus conceitos e à certeza das suas conclusões, e por isso têm dedicado muito esforço a explicar a natureza da matemática.
Este guia de estudo recomendará fontes que fornecem uma introdução às principais questões da filosofia da matemática, e os pontos de vista historicamente importantes sobre estas questões. Alguma familiaridade com a matemática é um pré-requisito para pensar sobre estas questões. O livro What is Mathematics?, de Richard Courant e Herbert Robbins, é uma brilhante exposição dos tópicos e métodos da matemática moderna. O livro destina-se a leigos, mas nenhuma da essência da matemática foi omitida; não é um livro simples, mas é gratificante.
A maioria dos filósofos tem apresentado as suas opiniões sobre matemática em obras sobre temas mais gerais. A antologia Filosofia e Matemática de Robert Baum, contém selecções sobre matemática da maioria dos principais filósofos ocidentais, desde Platão até Mill. As selecções incluem material suficiente para fornecer um contexto para os pontos de vista de cada filósofo sobre matemática, e os ensaios introdutórios de Baum traçam as influências filosóficas sobre cada pensador.
As opiniões mais influentes têm sido as de Platão e Kant, e Baum tem uma secção sobre cada uma delas. Os Objectivistas interessados podem querer complementar a secção de Baum sobre Aristóteles com um olhar sobre o livro de Thomas Heath, Mathematics in Aristotle. O livro de Baum também contém alguns ensaios modernos, dos quais vale a pena ler o livro de Max Black "The Elusiveness of Sets", uma crítica à epistemologia dos teóricos de conjuntos.
A teoria da mecânica de Newton, e a sua invenção do cálculo integral e diferencial em apoio a ela, estão entre as maiores realizações da história. A ideia central de limite é logicamente subtil (esta subtileza é o que torna o paradoxo de Aquiles de Zeno perplexo), e Newton não tratou os limites com rigor. Os seus detractores - sobretudo Berkeley - fizeram grande parte desta falha. Cauchy, Weierstrass, e outros matemáticos do século XIX desenvolveram uma teoria rigorosa dos limites, que forneceu uma base inatacável para a teoria de Newton e é uma pedra angular da análise matemática moderna. Esta história epistemológica de sucesso é bem contada em A História do Cálculo e o seu Desenvolvimento Conceptual, de Carl Boyer.
Outra jóia lógica que é uma característica central da análise matemática moderna é a ideia de um problema bem colocado, que foi introduzida pelo matemático Jacques Hadamard. Quando um novo problema matemático é proposto, a primeira ordem de trabalhos dos matemáticos é estabelecer que o problema tem uma solução, que tem apenas uma solução, e que a solução depende de forma razoável dos dados (por exemplo, se a equação relaciona a voltagem com a iluminação numa lâmpada, um pequeno aumento da voltagem deve resultar apenas num pequeno aumento da iluminação).
Um problema que tem estas propriedades é chamado de "bem-posicionado". Quando os matemáticos estabelecem que um problema matemático está bem posicionado, estão a garantir que é uma pergunta razoável a fazer antes de tentarem responder. Os investigadores em muitos outros campos seriam bem aconselhados a adoptar tais cuidadosos hábitos epistemológicos. Infelizmente, não há uma introdução filosófica a este tópico.
A opinião popular actual é que a matemática passou por uma série de crises lógicas ou epistemológicas que lhe causaram graves danos. Para uma história destas "crises" (por exemplo, a invenção da geometria não-euclidiana e a descoberta dos paradoxos teóricos), e um levantamento exaustivo das questões da filosofia matemática moderna, ver Matemática de Morris Kline: A Perda da Certeza. Kline foi um matemático; este livro reflecte com precisão o tipo de atitude que se encontra entre os praticantes, e está bem documentado com a matemática pertinente.
Para determinar se existem falhas nos fundamentos de um assunto, é preciso primeiro responder à questão epistemológica mais básica do que constitui um fundamento adequado. A posição objectivista de que todo o conhecimento deve ser fundamentado na percepção, e apreendido e organizado conceptualmente, não desempenhou praticamente nenhum papel no desenvolvimento histórico da filosofia da matemática. A principal tarefa de uma abordagem Objectivista é fundamentar a matemática de forma objectiva. Uma importante tarefa secundária é explicar como outros pressupostos epistemológicos trouxeram a sensação de crise e dúvida que tem caracterizado o campo.
A Filosofia da Matemática de Stephan Korner , um Ensaio Introdutório, é um tratamento menos detalhado histórica e matematicamente do que o de Kline, mas é mais sofisticado do ponto de vista filosófico. Korner dedica dois capítulos apiece-uma exposição e uma crítica a cada uma das três principais escolas modernas de pensamento sobre filosofia matemática: os formalistas, os lógicos, e os intuicionistas. A apresentação de Korner é clara, concisa e imparcial.
A escola logicista, cujas figuras centrais são Bertrand Russell e Gottlob Frege, tinha como objectivo "reduzir a matemática à lógica". A Introdução à Filosofia Matemática de Russell é uma introdução não técnica ao programa logicist. A concepção lógico-lógica é radicalmente diferente da concepção Objectivista, ou mais geralmente, da concepção aristotélica da lógica; e é uma visão da lógica pressuposta na maior parte da filosofia matemática moderna. A Introdução de Russell é uma exposição excepcionalmente clara desta concepção de lógica e da sua aplicação à matemática. É valiosa como guia para as premissas que uma abordagem objectiva dos fundamentos da matemática terá de desafiar.
As obras de Henry Veatch, nomeadamente Intentional Logic, criticam a concepção da lógica de Russell a partir de uma perspectiva aristotélica. Veatch argumenta, a partir de um princípio com o qual o Objectivismo concorda - que a consciência é intencional, que é sempre de ou sobre um mundo que existe e tem identidade independentemente da consciência.
A escola formalista foi fundada pelo matemático David Hilbert. Os formalistas procuram expressar a matemática como sistemas lógicos estritamente formais, e estudá-los como tal, sem se preocuparem com o seu significado. (Isto contrasta com os lógicos, que procuram estabelecer o significado das noções matemáticas definindo-as em termos de conceitos de lógica). A sua principal motivação era justificar a matemática de conjuntos infinitos, que tinha sido desenvolvida por Georg Cantor no final do século XIX. Os formalistas esperavam expressar a matemática de conjuntos infinitos num tal sistema, e estabelecer a consistência desse sistema através de métodos finitos. Se tivessem tido êxito nisto, pensavam eles, teriam justificado a utilização de conjuntos infinitos sem terem de abordar a espinhosa questão de saber o que são tais conjuntos.
A abordagem formalista é explicada e ilustrada em Godel's Proof por Ernest Nagel e James Newman. Este pequeno livro é uma obra-prima para tornar o material sofisticado acessível a não especialistas. O livro começa com uma exposição de formalismo, e conclui com um esboço muito legível da prova do teorema de Kurt Godel de incompletude. Este teorema mostrou, nos próprios termos dos formalistas, que o seu programa era insustentável.
Os intuicionistas, cujo líder era o matemático L.E.J. Brouwer, são mais conhecidos pelo seu conservadorismo em relação à infinitude matemática. Opõem-se à aplicação da lei do meio excluído a declarações que envolvam infinidades matemáticas, como numa prova que assume a seguinte forma: ou há um número com a propriedade P ou não há; se não há, segue-se uma consequência que se sabe ser falsa; portanto, existe um número com a propriedade P. Tais provas não nos dizem qual é o número em questão, ou porque tem a propriedade. As provas construtivas, pelo contrário, fornecem esta informação, e os intuicionistas exigem provas construtivas de teoremas matemáticos.
Os intuicionistas encontram as suas raízes filosóficas em Kant. No entanto, a sua cautela em relação ao infinito deve apelar aos Objectivistas. A sua posição sobre a lei do meio excluído pode ser interpretada como uma exigência de que uma declaração seja estabelecida como significativa antes que as leis da lógica lhe sejam aplicadas, uma exigência que o Objectivismo certamente endossa. A sua insistência em provas construtivas pode ser vista como um meio de especificar o que se entende pela existência de um número.
Infelizmente, os intuicionistas nem sempre são claros quanto ao significado e fundamentos filosóficos das suas posições; eles tratam dos detalhes matemáticos à custa da exposição filosófica. Não há introdução como a de Russell ou a de Nagel e Newman. Há várias peças de intuicionistas - Brouwer, Heyting e Dummett- na colecção Filosofia da Matemática, Leituras Seleccionadas, editada por Paul Benacerraf e Hilary Putnam. A introdução a este volume contém também uma discussão clara dos princípios intuicionistas.
Uma compreensão adequada da abstracção é um pré-requisito para a explicação de conceitos matemáticos. As teorias históricas de conceitos matemáticos tendem a incorporar os piores aspectos das teorias históricas dos universais; o realismo platónico, o idealismo kantiano e o nominalismo extremo dominam o assunto.
A identificação da natureza dos universais por Ayn Rand e a sua análise do processo de abstracção têm muito a contribuir para a filosofia da matemática. Não existe, no entanto, literatura Objectivista sobre este tema. Uma indicação de uma abordagem Objectivista ao assunto é dada no ensaio "The Cognitive Basis of Arithmetic" de David Ross. Comentários de Ayn Rand sobre vários tópicos matemáticos estão contidos no apêndice à edição de 1990 da Introdução à Epistemologia Objectivista.
O objectivismo reconhece uma ligação mais profunda entre a matemática e a filosofia do que os defensores de outras filosofias têm imaginado. De acordo com a teoria de Ayn Rand, o processo de formação do conceito envolve a compreensão das relações quantitativas entre unidades e a omissão das suas medidas específicas. Assim, coloca a matemática no centro do conhecimento humano como um elemento crucial do processo de abstracção. Esta é uma nova e radical visão do papel da matemática na filosofia. Como Leonard Peikoff colocou-o no Objectivismo: A Filosofia de Ayn Rand:
Assim, uma área que uma filosofia Objectivista da matemática deve abordar é o significado e a estrutura da medição na teoria da omissão da medição; este subcampo da filosofia da matemática pode ser chamado a matemática da filosofia. Para a visão Objectivista, ver as discussões de Rand em Introdução à Epistemologia Objectivista, o Objectivismo de Peikoff: A Filosofia de Ayn Rand, e "A Theory of Abstraction" de David Kelley.
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